この記事では、乗法公式と因数分解の公式を学習します。
目次(クリックでジャンプ)
乗法公式
因数分解
因数分解の基本
因数分解公式
公式A
A1
a2+2ab+b2=(a+b)2
A2
a2-2ab+b2=(a-b)2
利用例題
公式B
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
利用例題
公式C
a2-b2=(a+b)(a-b)
利用例題
応用公式D
acx2+(ab+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
利用例題
文字が2つ
acx2+(ab+bc)xx+bdy2=(ax+by)(cx+dy)
利用例題
応用公式E
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2
証明
利用例題
応用問題(置き換え)
応用問題(組み合わせ)
応用問題(四項の因数分解)
3次の因数分解
公式A
A1
a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3
A2
a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3
利用例題
公式B
B1
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
B2
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
利用例題
応用公式C
a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)
公式の証明
a3+b3+c3-3abc
={a3+b3}+c3-3abc
={(a3+b3+3a2b+3ab2)-3a2b-3ab2}+c3-3abc
={(a+b)3-3a2b-3ab2}+c3-3abc
=(a+b)3-3a3b-3ab3+c3-3abc
=[(a+b)3+c3]+{-3a2b-3ab2-3abc}
=[{(a+b)+c}{(a+b)2-(a+b)c+c2}]+{-3ab(a+b+c)}
=[{a+b+c}{a2+2ab+b2-ac-bc+c2}]-3ab(a+b+c)
={a+b+c}{a2+b2+c2+2ab-ac-bc}-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2+2ab-ac-bc-3ab)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
利用例題
a3+6ab-8b3+1 を因数分解せよ
a3+6ab-8b3+1
={a3-8b3+1}+6ab
={(a)3+(-2b)3+(1)3}-3(a)(-2b)(1)
=(a-2b+1)(a2+4b2+1-(-2ab)-(-2b)-(a))
=(a+2b-1)(a2+4b2+1+2ab+2b-a)