2次方程式】解の公式の証明【中3・数Ⅰ

解の公式の証明

★操作に気をつけながら、平方完成を行う

 

中3・高1で「解の公式の証明が分からない…」という方へ

確かに面倒くさいのですが、考え方は「2次方程式の平方完成」そのものなので、「平方完成」が分かれば理解の準備はできています。

この記事では東大卒講師歴20年超の図解講師「そうちゃ」が「平方完成」「解の公式の証明」を分かりやすく解説します。

記事を読んで真似すれば「解の公式の証明」はもう大丈夫でしょう♪

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解の公式

2次方程式ax2+bx+c=0の解xは x=$\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ で導かれる。

これが解の公式(quadratic-formula)です。

練習
2x2+3x+1=0の解を求める

x=$\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ にa=2,b=3,c=1を代入して

x=$\frac{-3±\sqrt{3^2-4×2×1}}{2×2}$=$\frac{-3±\sqrt{9-8}}{4}$=$\frac{-3±1}{4}$=-3+14,-3-14=-24,-44=-1,-12

解の公式を確認したところで、証明に行きたいのですが、その前に…

証明の前提~平方完成

解の公式を導くには「平方完成」を用いるので、平方完成が完璧に分かるようにしておく必要があるので確認です

「完璧に分かるよ!」という人はジャンプして下さい

二次係数が1の場合

基本作業の確認です

(例題1)
2次方程式 x2+6x+5=0 を平方完成して解きなさい

(解説)
x2+6x+5=0
(x2+6x)+5=0 まず定数項以外をカッコでまとめる

ここで、(x2+6x+□)=(x+◇)2 にできるような□を考えると、(x2+6x+9)=(x+3)2  と思いつくでしょう。
(理屈で考えると  ◇=6÷2=3 で =◇2=9 です)

(x2+6x)+5=0 (x2+6x+9)と比べると9が足りないので…
(x2+6x+9)+5=9 9を両辺に加える
(x2+6x+9)=9-5 左辺の5を右辺に移項
(x+3)2=4 (x2+6x+9)を(x+3)2に変形

「x2+6x+5=0」が「(x+3)2=4」になりました。
これが「平方完成」でした。ここからxを求めます

(x+3)2=4
x+3=±$\sqrt{4}$ 平方根にする
x+3=±2
x=-3±2 左辺の3を移項
x=-1,-5 答えが出ました。

分かりましたね?

二次係数が1以外の場合

ちょっと手間が増えますが、これが出来れば解の公式の証明まであと一歩です

(例題2)
2次方程式 2x2+12x+4=0 を平方完成して解きなさい

2x2+12x+4=0 x2に係数2がついている
2(x2+6x)+4=0 まず定数項「5」以外を2でくくる

ここで、(x2+6x+□)=(x+◇)2 にできるような□を考えると、例1と同じく(x2+6x+9)=(x+3)2  で、左辺のカッコは(x2+6x+9)と比べると9が足りない

2(x2+6x)+4=0
2(x2+6x+9)+4=18 左辺のカッコの中に9を加えるので、右辺には9x2=18を加えることに注意

2(x2+6x+9)=18-4 左辺の4を右辺に移項
2(x+3)2=14 (x2+6x+9)を(x+3)2に変形

「2x2+12x+5=0」が「2(x+3)2=14」になりました。「平方完成」終了♪

2(x+3)2=14
(x+3)2=7 両辺を2で割る
x+3=±$\sqrt{7}$ 平方根にする
x=-3±$\sqrt{7}$ 左辺の3を移項して答えです

これでもう解の公式の証明ができます。

解の公式の証明

二次方程式の一般形「ax2+bx+c=0」を上の平方完成例2(二次の係数が1でない場合)と同じように変形していきます。

ax2+bx+c=0 x2に係数aがついている
a(x2+bax)+c=0 定数項以外をaでくくる

ここで、(x2+bax+)=(x+◇)2 にできるような□を考えると、  ◇=ba÷2=b2a で =◇2=b24a2 です

a(x2+bax)+c=0
a(x2+bax+b24a2)+c=b24a 左辺のカッコ内にb24a2を加えます。右辺に加えるのはaをかけたb24aになることに注意

a(x2+bax+b24a2)+c=b24a

a(x2+bax+b24a2)=b24a-c cを右辺へ

a(x2+bax+b24a2)=b2-4ac4a4ac4a -cを4aで通分

a(x2+bax+b24a2)=b2-4ac4a 右辺を仮分数にまとめる

a(x+b2a)2=b2-4ac4a 左辺のカッコを( )2の形に

(x+b2a)2=b2-4ac4a2 両辺をaで割る

(x+b2a )=±$\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$ 平方根にする

x+b2a${\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

x=-b2a±${\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$ b2aを移項

x=-b2a±${\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

x=${\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$ 解の公式ができました!

証明は以上です!

 

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