分かりやすい♪対数(log)の意味・公式まとめ。対数表の使い方も

「対数って何?」「ログって良く分からない…」という高校生の方へ。確かに日常生活であまり耳にしない言葉なので難しく思えるかもしれません。でも「指数」が分かれば対数も分かりますよ!この記事は東大卒講師歴20年の管理人が対数(log)(ログ)の意味を分かりやすく説明します。

対数の基本

対数は指数の○

「対数」を一言で言うと、「指数の逆」です。だから指数を思い出しましょう。指数法則「ak=N」 を日本語に直すと「aをk乗するとNになる」ですね。

この言葉の順序を変えてkを求めるようにすると「aをNにするにはk乗すれば良い」になります。

この「aNにするにはk乗すれば良い」を数式にしたのが logaN=k で「ろぐえいえぬいこーるけい」と読みます。

対数(log)の意味

logaN」→aを何乗すればNになるか?
「logaN=k 」⇔「 ak=N
(aをNにするにはk乗する) (aをk乗するとNになる)

指数法則に自信がない・忘れたという人は「指数法則の基本」「指数法則の拡張」をよく見直して下さい。

対数の構成要素

log全体を「対数」と呼びます。

「logaNN真数と呼びます。Nには「0<N」という条件があります。(真数条件と言います)

logaN」のaと呼びます。aにも条件があり、「0<a」というのはNと同じですが,さらに「a≠1」という条件があります(1は何乗しても1にしかなりませんね)。

全部合わせると「logaN=k」はaとするN対数k」という意味になります。

対数の要素

logaN 
a
→底 N→真数 k=対数
(数字が3つある)
0<a,a≠1,0<N

指数⇔対数

指数から対数を作る練習

指数→対数

 ak=N」⇔「logaN=k
(aをk乗するとNに) (aをNにするにはk乗)

あまり難しく考えずに「●を○にするには◉乗すれば良い」という日本語を作り、その順に数字を並べて「log○=◉」という式を作りましょう。そのうちに意味も実感できるようになります。

例1

32=9 を logaN=k の形にせよ

解説と解答を表示

→「3を2乗すると9になる」
→「39にするには2乗すれば良い」
log39=2 

例2

2-3=
1
8
を logaN=k の形にせよ

解説と解答を表示

→「2を-3乗すると18になる」
→「218にするには-3乗すれば良い」
log218=-3 

例3

5$\frac{1}{2}$=$\sqrt{5}$ を logaN=k の形にせよ

解説と解答を表示

→「5を$\frac{1}{2}$乗すると25になる」
→「5$\sqrt{5}$にするには12乗すれば良い」→log5$\sqrt{5}$=12

対数から指数を作る

対数→指数

「logaN=k 」⇔「 ak=N
(aをNにするにはk乗) (aをk乗するとNに)

(例1)log232=5 を「ak=N」の形に直せ

解説と解答を表示

「2を32にするには5乗すればよい」
→「2を5乗すると32になる」
25=32

(例2)log44=1 を「ak=N」の形に直せ

解説と解答を表示

「4を4にするには1乗すればよい」
→「4を1乗すると4になる」
41=4

(例3)log$\frac{1}{2}$16=-4 を「ak=N」の形に直せ

解説と解答を表示

12を16にするには-4乗すればよい」
→「12を-4乗すると16になる」
(12)-4=16

対数を求める

やり方(その1)

底が「2」「3」のような単純な数の場合
真数Nを「ak 」の形になおした時の「k」を答えるのが簡単でしょう。

対数を求める(1)

真数Nを底aの累乗akに変形
logaNl
ogaak=k 

例1

log232 を求めよ

解説と解答を表示

「log232=log22?」と考えます
→「32=25」なので
log232=log225=5 

例2

log3181を求めよ

解説と解答を表示

→「3を何乗すると181になるか?」
→「181134=3-4
log3181=log33-4=-4 

例3

log3$\sqrt[3]{81}$ を求めよ

解説と解答を表示

→「3を何乗すると$\sqrt[3]{81}$になるか?」
「$\sqrt[3]{81}$$\sqrt[3]{3^4}$=$3^\frac{4}{3}$」
log3$\sqrt[3]{81}$=log3$3^\frac{4}{3}$=43

例4*

log3$9\sqrt{3}$ を求めよ

解説と解答を表示

→「3を何乗すると$9\sqrt{3}$になるか?」
9×$\sqrt{3}$32×$3^{\frac{1}{2}}$=$3^{(2+\frac{1}{2})}$=$3^{\frac{5}{2}}$ なので
log3$9\sqrt{3}$=log3$3^{\frac{5}{2}}$=52

やり方(その2)*

底が単純な数でない場合(分数など)
対数「logaN=k 」を指数 ak=N」の形に変形して指数方程式を利用する

対数を求める(2)

logaN=X を ax=N に変形して
指数方程式を解く

例5

log$\frac{1}{2}$を求めよ

解説と解答を表示

log$\frac{1}{2}$8=X ⇒ (12)x=8
この指数方程式を解く

12=2-1、8=23なので、

(12)x=8

(2-1
)X=23

2-X=23

-X=3

ここからXの方程式

-X=3


X=3÷(-1)=-3

 

例6

log$\frac{1}{4}$$\sqrt{2}$ を求めよ

解説と解答を表示

log$\frac{1}{4}$$\sqrt{2}$=X ⇒ (14)x=$\sqrt{2}$
この指数方程式を解く

14=$2^{(-2)}$、$\sqrt{2}$=$2^{\frac{1}{2}}$なので、

(14)x=$\sqrt{2}$

$(2^{-2})^X$=$2^{\frac{1}{2}}$

$2^{-2X}$=$2^{\frac{1}{2}}$

-2X=12

ここからXの方程式

-2X=12


X=12÷(-2)=14

例7

log$\frac{1}{10}$$\frac{1}{\sqrt{10}}$ を求めよ

解説と解答を表示

log$\frac{1}{10}$$\frac{1}{\sqrt{10}}$=X ⇒ (110)x=1$sqrt{10}$
この指数方程式を解く

110=10-11$sqrt{10}$=10^{-\frac{1}{2}}$なので、

(110)x=$\frac{1}{\sqrt{10}}$

$(10^{-1})^X$=$10^{-\frac{1}{2}}$

$10^{-X}$=$10^{-\frac{1}{2}}$

-X=-12

ここからXの方程式

-X=-12


X=12÷(-1)=12

 

 

対数の性質と利用

基本ルール

logaak=kこれは上にも出てきました。「aを何乗すればakになるか?→k乗」(ak=ak)

logaa=1 「aを何乗すればaになるか?→1乗」(a1=a)

loga1=0 「aを何乗すれば1になるか?→0乗」(a0=1)

基本性質

logaak=k
logaa=1
loga1=0

練習問題

 

対数をまとめる

❶和→積
logaM+logaN=logaM×N (底が同じ対数の和は真数が積になる)

(証明)
log39+log327=log332+log333
=2+3=5=log335=log333×32=log39
×27

❷差→除
logaMlogaN=logaMN

(底が同じ対数の差は真数が除になる)

(証明)
log327-log39=log333-log332
=3-2=1=log331=log333÷32=log327
÷9=log3279

多項をまとめる公式

(底aが等しい場合のみ)
logaM+logaN=logaMN
logaM-logaN=loga$\frac{M}{N}$

❸係数を中に入れる
klogaN=logaNk(ログの係数は真数の指数になる)

係数を中に入れる

logaNk=klogaN

(証明)
log282=log2(23)2=log226=6=2×3=2×log223=2log28

例1

log39+log327 を計算しなさい

解説と解答を表示

log39+log327=log39×27=log332×33

=log33(2+3)=log335=5

例2

log108+log10125 を計算しなさい

解説と解答を表示

log108+log10125=log108×125=log101000

=log10103=3

例3

log619+log614 を計算しなさい。

解説と解答を表示

log619+log614=log619×log614=log6136=log66-2=-2

例4

log2160log25 を計算しなさい

解説と解答を表示

log2160log25=log21605=log232

=log225=5

例5

log3$\sqrt{24}$log3$\sqrt{8}$ を計算しなさい

解説と解答を表示

log3$\sqrt{24}$-log3$\sqrt{8}$=log3$\frac{\sqrt24}{\sqrt8}$
=log3$\sqrt{3}$=log3$3^{\frac{1}{2}}$=12

例6

log512log5300 を計算しなさい

解説と解答を表示

log512log5300=log512300=log5125=log55-2=-2

 

対数をバラす

「まとめる」の逆方向

例1

log102=a、log103=b とするとき、次の値をa,bで表せ
(1)log10120

(2)log100.15

 

新しい底の分数にする(底の変換公式) 

対数の底とも真数とも違う新しい数字を底として、分数を作れます。他の対数と底を揃えるのに使います。

底の変換公式

logaN=logbNlogba

(証明)
(logaN=K)

ak=N

logbak=logbN

klogba=logbN

k=$\frac{log{b}{N}}{log{b}{a}}$

logaN=$\frac{log{b}{N}}{log{b}{a}}$

例題

 

 

対数関数

 

対数方程式・不等式

 

常用対数

10を底とする対数「log10X」(10を何乗したらXになるか)を「常用対数」という。

常用対数表の読み取り

常用対数は小数点のある中途半端な数です。例えば「log10X」は「0.4771」になります。そこで「常用対数表」という表の形になったものを読み取って使います。

下にあるのは常用対数表の一部分を抜粋したものです。

常用対数表(一部)

例えば「1.33の常用対数」「log101.33」(10を何乗すると1.33になるか)を読み取る場合は、①まず左端のタテの列で「1.3」を探すと上から三行目に見つかります。②次に小数第二位「3」を上端のヨコの列で探すと四列目にあるので、「1.3」の行の4列目をみると「.1239」とあります。これが「1.33の常用対数」です。

1.33の常用対数を読み取る

常用対数表の読み取り

❶小数第一位までの数字でタテにたどる
❷小数第二位の数字でヨコにたどる

例1

2.46の常用対数(log102.46)を求めよ

解説と解答を表示

表で「2.4」の行と「6」の列をたどると0.3909と分かる

例2

常用対数が0.4594になる数(log10X=0.4594 になるX)を求めよ

解説と解答を表示

今までと反対方向の作業をする。表の中から「0.4594」を見つけて行と列を読み取ると「2.8」と「8」なので、求める数Xは「2.88」と分かる。

 

常用対数表の利用

常用対数表にない数字でも、×10、×100、10100などの形に変形すれば求めることができます。

大きな数の常用対数を求める

例えば、1330の常用対数つまり「log101330」を求める場合は、1330=1.33×1000なので、log101330=log101.33×1000=log101.33+log101000 と変形できます。
log101.33は0.1239、log101000=log10103=3 なのでlog101.33+log101000=0.1239+3=3.1239 と分かります。

(例1)対数表を用いて log1025.1 を求めよ

解説と解答を表示

25.1=2.51×10なので、log1025.1=log102.51×10=log102.51+log1010 と変形できます。
log102.51は0.1239、log101000=log10103=3 なのでlog101.33+log101000=0.1239+3=3.1239 と分かります

(例2)対数表を用いて log10149 を求めよ

解説と解答を表示

小さい数の常用対数を求める

また0.133の常用対数つまり「log100.133」を求める場合は
0.133=1.3310なので、log100.133=log101.3310=log101.33-log1010と変形できます。
log101.33は対数表より0.1239、log1010=log10101=1 なので log101.33-log1010=0.1239-1=0.8761 と分かります。

(例3)対数表を用いて log100.0292 を求めよ

解説と解答を表示

0.0292=2.92100なので、log100.0292=log102.92100=log102.92-log10100と変形できます。
log102.92は対数表より0.4654、log10100=log10102=2 なのでlog102.92-log10100=0.4654-2=1.5346 と分かります。

対数表に無い数

●大きい数の常用対数
○「表の数値×10」→数値+1
○「 〃  ×100」→ 〃 +2
●小さい数の常用対数
○「表の数値10」→数値-1
○「表の数値100」→数値-2

 

整数部分のケタ数

例えば「50」の整数部分は「2」ケタです。この「50」という数からどうやって「2」が出てくるのでしょう。

ケタ数が変わるのは10,100,1000…で、50がどこにあるか考えると10と100の間(10<50<100)です。
10=101,100=102 なので、10<50<100→101<50<102 と直せます。
50の整数部分のケタ数「2」はこれだったのです。

つまり、ある数Xが10n<X<10n+1 になる場合、Xは(n+1)ケタということです。

整数部分のケタ数

ある数Xが10n<X<10n+1 である場合、
Xの整数部分は(n+1)ケタになる

では、「250」は何桁でしょうか。10n<250<10n+1 となる場合、(n+1)ケタと分かるので、250=10x としてxを求めます。(2を50回かけた結果の桁数を数えても良いですが…面倒くさいですね?)

250=10x とすると、xは「10を250にするには何乗すれば良いか」なので、log10250 です。

常用対数表でlog102を調べると、log102=0.3010 なので、log10250

=50×log102=50×0.3010=15.05 と分かります。つまり250=1015.05 です。

以上より 10n<250<10n+1 → 10n<250=1015.05<10n+1 → 1015<250=1015.05<1016 なので、250は16ケタと求められます!

(例)310 の桁数を求めよ。log103=0.4771 とする

解説と解答を表示

310=10x とすると、x=log10310

log10310=10×log103=10×0.4771=4.771 と分かります。つまり310=104.771 です。

以上より 10n<310<10n+1 → 10n<310=104.771<10n+1 → 104<340=104.771<105 なので、3105ケタ

 

(例)340 の桁数を求めよ。log103=0.4771 とする

解説と解答を表示

340=10x とすると、x=log10340

log10340=40×log103=40×0.4771=19.084 と分かります。つまり340=1019.084 です。

以上より 10n<340<10n+1 → 10n<340=1019.084<10n+1 → 1019<340=1019.084<1020 なので、34020ケタ

小数の数字部分

同じように、小数において0でない数字は小数第何位から現れるかを求めます。

例えば、「0.05」は小数第「2」位から0でない数字が現れます。

0.001<0.05<0.01

10-3<0.05<10-2

小数で数字が現れる位置

ある数Xが10-(n+1)<X<10-n である場合、
0以外の数字は小数(n)ケタになる

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