④指数の拡張

「指数法則(復習)」を出来るようにしておいて下さい。

今までの指数

絶~対暗記!

❶ $a^m×a^n$=$a^{m+n}$
❷ $a^m÷a^n$=$a^{m-n}$
❸ $(a^m)^n$=$a^{mn}$
❹ $(ab)^n$=$a^nb^n$ (かけ算!)

今までの指数は自然数のみでした。

$a^1$(=a)、$a^2$、$a^3$…$a^{10}$ 等

しかし、実は指数は自然数以外でもOKです。

拡張その1(0と負の整数)

指数は「0」や負の整数(-1,-2…)でもOKです。

絶対に暗記!

$a^0$=1(0乗は1になる)

$a^{-n}$=$\frac{1}{a^n}$(マイナス乗は分数の分母になる)

例題1-1

$5^0$=

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$5^0$=1

$5^0$$1^0$$100^0$も全部1です。

例題1-2

$5^{-3}$=

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$5^{-3}$=$\frac{1}{5^3}$=$\frac{1}{125}$

例題1-3

$5^2×5^{-4}$=

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$5^2×5^{-4}$=$5^{2+(-4)}$=$5^{-2}$=$\frac{1}{5^2}$=$\frac{1}{25}$

例題1-4

$5^2×5^3÷5^7$=

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$5^2×5^3÷5^7$=$5^{2+3-7}$=$5^{-2}$=$\frac{1}{5^2}$=$\frac{1}{25}$

例題1-5

$a^2b^3×a^3b^{-5}$=

解答を表示

$a^2b^3×a^3b^{-5}$=$a^{2+3}b^{3+(-5)}$=$a^5b^{-2}$=$\frac{a^5}{b^2}$

例題1-6

$12^2÷18^3$=

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$12^2÷18^3$=$(2^2×3^1)^2÷(2^1×3^2)^3$=$(2^4×3^2)÷(2^3×3^6)$=$2^{4-3}×3^{2-6}$=$2^1×3^{-4}$=$\frac{2^1}{3^4}$=$\frac{2}{81}$

拡張その2(有理数の指数)

さらに、指数が分数でもOKです。

絶対暗記!

$a^\frac{1}{n}$=$\sqrt[n]{a}$ (分数乗はルートになる)

$a^\frac{m}{n}$=$(a^\frac{1}{n})^m$=$(\sqrt[n]{a})^m$=$\sqrt[n]{a^m}$
$a^{-\frac{m}{n}}$
=$\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$

基本

例題2-1

$5^\frac{1}{3}$ をルートの形で表せ

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$5^\frac{1}{3}$=$\sqrt[3]{5}$

例題2-2

$\sqrt[4]{7}$ $a^x$の形で表わせ

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$\sqrt[4]{7}$=$7^\frac{1}{4}$

例題2-3

$3^\frac{2}{5}$ をルートの形で表わせ

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$3^\frac{2}{5}$=$\sqrt[5]{3^2}$

例題2-4

$\sqrt[3]{5^4}$ $a^x$の形で表わせ

解答を表示

$\sqrt[3]{5^4}$=$5^\frac{4}{3}$

例題2-5

$3^{0.4}$ をルートの形で表わせ

解答を表示

小数は分数に直す。

$3^{0.4}$$3^\frac{2}{5}$=$\sqrt[5]{3^2}$

例題2-5

$7^{-\frac{2}{5}}$=

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$7^{-\frac{2}{5}}$=$\frac{1}{\sqrt[5]{7^2}}$

計算問題

指数法則を使います

公式チェック

❶ $a^m×a^n$=?

解答を表示

$a^m×a^n$=$a^{m+n}$

❷ $a^m÷a^n$=?

解答を表示

$a^m÷a^n$=$a^{m-n}$

❸ $(a^m)^n$=?

解説と解答を表示

$(a^m)^n$=$a^{mn}$

❹ $(ab)^n$=?

解説と解答を表示

$(ab)^n$=$a^nb^n$

例題1

$3^\frac{10}{3}×3^\frac{2}{3}$=$3^{\frac{10}{3}+\frac{2}{3}}$=$3^\frac{12}{3}$=$3^4$

例題2

$(16^\frac{7}{8})^{-\frac{12}{7}}$=$((4^2)^\frac{7}{8})^{-\frac{12}{7}}$=$4^{(2×\frac{7}{8}×-\frac{12}{7})}$=$3^{-3}$

例題3

$10^\frac{9}{4}÷10^{-\frac{3}{4}}$=$10^{\frac{9}{4}-(-\frac{3}{4})}$=$10^{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}$=$10^\frac{12}{4}$=$10^3$

例題4

 

例題5

 

例題6

 

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