③累乗根

表示テスト

例題4()

はどのような数になるでしょうか
ヒント

「整数になる=分母が1」ということ

図解
解答を表示

分数×整数なので

つまり■は3で割り切れる数、3,6,9等の3の倍数ということです。

答: 3の倍数になる

 

累乗根の前に、「指数法則(復習)」が出来るようにしておきましょう。

累乗根の意味

まず暗記!

aのn乗根=n乗するとaになる数

「aのn乗根」のうち、正の実数の方を「$\sqrt[n]{a}$」、負の実数の方を「-$\sqrt[n]{a}$」と書く

●2乗すると9になる数=「9の2乗根」

=3と-3(2つの実数解) 実数解のプラスの方を「$\sqrt[2]{9}$($\sqrt{9}$)」,-実数解のマイナスの方を「-$\sqrt[2]{9}$(-$\sqrt{9}$)」と表す

●3乗すると27になる数=「27の3乗根」
=実数解一個(3)と虚数解二個。実数解を「$\sqrt[3]{27}$」と表す

$\sqrt[4]{81}$→4乗すると81になる数=「81の4乗根」
=実数解二個(3,-3)と虚数解二個。実数解のうちプラスの方を「$\sqrt[4]{81}$」マイナスの方を「-$\sqrt[4]{81}$」と書く

 

このように「aのn乗根」はnが奇数か偶数かで実数解の個数が異なる。

◆nが奇数の場合→aのn乗根の実数解は1つだけ存在する。それを「$\sqrt[n]{a}$」で表す

◆nが偶数の場合→aが正か負かで分かれる
◇aが正の場合→aのn乗根の実数解は2つ存在する。プラスの方を「$\sqrt[n]{a}$」マイナスの方を「-$\sqrt[n]{a}$」で表す

◇aが負の場合→aのn乗根の実数解は無い。

aのn乗根の実数解のまとめ

n\a aが正 aが負
nが奇数 実数解は$\sqrt[n]{a}$の1つだけ
nが偶数 実数解は$\sqrt[n]{a}$-$\sqrt[n]{a}$の2つ。 実数解無し

ルートの消し方の基本
(n乗するとルートは消える)

まず暗記!

$\sqrt[n]{a^n}$=a $(\sqrt[n]{a})^n$=a

(手順)
まずルートの中を素因数分解して、nと同じ累乗が作れないかを見ること。

覚えておくべき数

$2^1$=2 $2^2$=4 $2^3$=8  $2^4$=16 $2^5$=32

$3^1$=3 $3^2$=9 $3^3$=27  $3^4$=81

$5^1$=5 $4^2$=25 $3^3$=125

 

公式チェック

n乗根のルートの消し方

n乗根「$\sqrt[n]{A}$」のルートの中のAを$a^n$にして$\sqrt[n]{a^n}$=aと直す

解説と解答を表示
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例題1

$\sqrt[3]{125}$=?

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$\sqrt[3]{125}$=$\sqrt[3]{5^3}$=5

例題2

$\sqrt[3]{343}$=?

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$\sqrt[3]{343}$=$\sqrt[3]{7^3}$=7

例題3

$\sqrt[3]{216}$=?

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$\sqrt[3]{216}$=$\sqrt[3]{2^3×3^3}$=$\sqrt[3]{6^3}$=6

例題4

$\sqrt[3]{-8}$=

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$\sqrt[3]{-8}$=$-\sqrt[3]{8}$=$-\sqrt[3]{2^3}$=-2

ルートの中にマイナスがあるのは(まだ)許されないので注意

覚えておく!

nが奇数で、ルートの中にマイナスがあったら、

$\sqrt[n]{-a}$=$-\sqrt[n]{a}$ 

を使ってルートの中をプラスにする

累乗根の計算規則

絶~対暗記!

$\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$=$\sqrt[n]{ab}$
$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$=$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
$(\sqrt[n]{a})^m$=$(\sqrt[n]{a^m})$
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$=$\sqrt[mn]{a}$
↑これらの計算規則↑を使って
$\sqrt[n]{a^n}$=a
を使えるように変形していく

掛け算

$\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$=$\sqrt[n]{ab}$

例題1

$\sqrt[4]{27}\sqrt[4]{3}$=

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$\sqrt[4]{27}\sqrt[4]{3}$=$\sqrt[4]{3^3}\sqrt[4]{3^1}$=$\sqrt[4]{3^3×3^1}$=$\sqrt[4]{3^4}$=3

例題2

$\sqrt[3]{12}\sqrt[3]{18}$=

解答を表示

$\sqrt[3]{12}\sqrt[3]{18}$=$\sqrt[3]{2^2×3^1}\sqrt[3]{2^1×3^2}$=$\sqrt[3]{2^2×3^1×2^1×3^2}$=$\sqrt[3]{2^3×3^3}$=$\sqrt[3]{6^3}$=6

例題3

$\sqrt[5]{3200000}$=

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0が多い場合は、10の階乗とのかけ算に直す

$\sqrt[5]{3200000}$=$\sqrt[5]{32×100000}$=$\sqrt[5]{32}$×$\sqrt[5]{100000}$=$\sqrt[5]{2^5}$×$\sqrt[5]{10^5}$=2×10=20

例題4

$\sqrt[3]{0.027}$=

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小数点の場合は、0.1の階乗とのかけ算に直す

$\sqrt[3]{0.027}$=$\sqrt[3]{27×0.001}$=$\sqrt[3]{27}$×$\sqrt[3]{0.001}$=$\sqrt[3]{3^3}$×$\sqrt[3]{0.1^3}$=3×0.1=0.3

例題5

$\sqrt[5]{0.00032}$=

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$\sqrt[5]{0.00032}$=$\sqrt[5]{32×0.00001}$=$\sqrt[5]{32}$×$\sqrt[5]{0.00001}$=$\sqrt[5]{2^5}$×$\sqrt[5]{0.1^5}$=2×0.1=0.2

 

割り算

$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$=$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

例題1

$\sqrt[3]{\frac{1}{8}}$=

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$\sqrt[3]{\frac{1}{8}}$=$\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}}$=$\frac{\sqrt[3]{1^3}}{\sqrt[3]{2^3}}$=$\frac{1}{2}$

例題2

$\frac{\sqrt[3]{243}}{\sqrt[3]{9}}$=

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$\frac{\sqrt[3]{243}}{\sqrt[3]{9}}$=$\sqrt[3]{\frac{243}{9}}$=$\sqrt[3]{27}$=$\sqrt[3]{3^3}$=3

 

累乗

$(\sqrt[n]{a})^m$=$(\sqrt[n]{a^m})$

例題1

$(\sqrt[4]{16})^2$=

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$(\sqrt[4]{16})^2$=$(\sqrt[4]{2^4})^2$=$\sqrt[4]{(2^4)^2}$=$\sqrt[4]{2^8}$==$\sqrt[4]{(2^2)^4}$=$2^2$=4

例題2

$(\sqrt[3]{10})^2$=

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$(\sqrt[3]{10})^2$=$\sqrt[3]{(10)^2}$=$\sqrt[3]{100}$

ルートの中が3乗に出来ないので、ルートは外せない

二重累乗根

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$=$\sqrt[mn]{a}$

例題1

$\sqrt[2]{\sqrt[3]{64}}$=

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$\sqrt[2]{\sqrt[3]{64}}$=$\sqrt[2]{\sqrt[3]{2^6}}$=$\sqrt[2×3]{2^6}$=$\sqrt[6]{2^6}$=2

例題2

$\sqrt[6]{27}$=

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27を素因数分解してもN乗(6乗)が作れないので、ルートの方を変える、と考える

$\sqrt[6]{27}$=$\sqrt[6]{3^3}$=$\sqrt[2×3]{3^3}$=$\sqrt[2]{\sqrt[3]{3^3}}$=$\sqrt[2]{3}$=$\sqrt{3}$

 

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