③累乗根

累乗根って何?」という高校生の皆さんへ。東大卒講師歴20年の管理人が分かりやすく説明します。
累乗根の前に、「指数法則(復習)」が出来るようにしておきましょう。

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累乗根の意味

まず暗記!

aのn乗根=n乗するとaになる数

「aのn乗根」のうち、正の実数の方を「$sqrt[n]{a}$」、負の実数の方を「-$sqrt[n]{a}$」と書く

●2乗すると9になる数=「9の2乗根」

=3と-3(2つの実数解) 実数解のプラスの方を「$sqrt[2]{9}$($sqrt{9}$)」,-実数解のマイナスの方を「-$sqrt[2]{9}$(-$sqrt{9}$)」と表す

●3乗すると27になる数=「27の3乗根」
=実数解一個(3)と虚数解二個。実数解を「$sqrt[3]{27}$」と表す

$sqrt[4]{81}$→4乗すると81になる数=「81の4乗根」
=実数解二個(3,-3)と虚数解二個。実数解のうちプラスの方を「$sqrt[4]{81}$」マイナスの方を「-$sqrt[4]{81}$」と書く

 

このように「aのn乗根」はnが奇数か偶数かで実数解の個数が異なる。

◆nが奇数の場合→aのn乗根の実数解は1つだけ存在する。それを「$sqrt[n]{a}$」で表す

◆nが偶数の場合→aが正か負かで分かれる
◇aが正の場合→aのn乗根の実数解は2つ存在する。プラスの方を「$sqrt[n]{a}$」マイナスの方を「-$sqrt[n]{a}$」で表す

◇aが負の場合→aのn乗根の実数解は無い。

aのn乗根の実数解のまとめ

n\a aが正 aが負
nが奇数 実数解は$sqrt[n]{a}$の1つだけ
nが偶数 実数解は$sqrt[n]{a}$-$sqrt[n]{a}$の2つ。 実数解無し

ルートの消し方の基本
(n乗するとルートは消える)

まず暗記!

$sqrt[n]{a^n}$=a $(sqrt[n]{a})^n$=a

(手順)
まずルートの中を素因数分解して、nと同じ累乗が作れないかを見ること。

覚えておくべき数

$2^1$=2 $2^2$=4 $2^3$=8  $2^4$=16 $2^5$=32

$3^1$=3 $3^2$=9 $3^3$=27  $3^4$=81

$5^1$=5 $4^2$=25 $3^3$=125

 

公式チェック

n乗根のルートの消し方

n乗根「$sqrt[n]{A}$」のルートの中のAを$a^n$にして$sqrt[n]{a^n}$=aと直す

解説と解答を表示
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例題1

$sqrt[3]{125}$=?

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$sqrt[3]{125}$=$sqrt[3]{5^3}$=5

例題2

$sqrt[3]{343}$=?

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$sqrt[3]{343}$=$sqrt[3]{7^3}$=7

例題3

$sqrt[3]{216}$=?

解答を表示

$sqrt[3]{216}$=$sqrt[3]{2^3×3^3}$=$sqrt[3]{6^3}$=6

例題4

$sqrt[3]{-8}$=

解答を表示

$sqrt[3]{-8}$=$-sqrt[3]{8}$=$-sqrt[3]{2^3}$=-2

ルートの中にマイナスがあるのは(まだ)許されないので注意

覚えておく!

nが奇数で、ルートの中にマイナスがあったら、

$sqrt[n]{-a}$=$-sqrt[n]{a}$ 

を使ってルートの中をプラスにする

累乗根の計算規則

絶~対暗記!

$sqrt[n]{a}sqrt[n]{b}$=$sqrt[n]{ab}$
$frac{sqrt[n]{a}}{sqrt[n]{b}}$=$sqrt[n]{frac{a}{b}}$
$(sqrt[n]{a})^m$=$(sqrt[n]{a^m})$
$sqrt[m]{sqrt[n]{a}}$=$sqrt[mn]{a}$
↑これらの計算規則↑を使って
$sqrt[n]{a^n}$=a
を使えるように変形していく

掛け算

$sqrt[n]{a}sqrt[n]{b}$=$sqrt[n]{ab}$

例題1

$sqrt[4]{27}sqrt[4]{3}$=

解答を表示

$sqrt[4]{27}sqrt[4]{3}$=$sqrt[4]{3^3}sqrt[4]{3^1}$=$sqrt[4]{3^3×3^1}$=$sqrt[4]{3^4}$=3

例題2

$sqrt[3]{12}sqrt[3]{18}$=

解答を表示

$sqrt[3]{12}sqrt[3]{18}$=$sqrt[3]{2^2×3^1}sqrt[3]{2^1×3^2}$=$sqrt[3]{2^2×3^1×2^1×3^2}$=$sqrt[3]{2^3×3^3}$=$sqrt[3]{6^3}$=6

例題3

$sqrt[5]{3200000}$=

解答を表示

0が多い場合は、10の階乗とのかけ算に直す

$sqrt[5]{3200000}$=$sqrt[5]{32×100000}$=$sqrt[5]{32}$×$sqrt[5]{100000}$=$sqrt[5]{2^5}$×$sqrt[5]{10^5}$=2×10=20

例題4

$sqrt[3]{0.027}$=

解答を表示

小数点の場合は、0.1の階乗とのかけ算に直す

$sqrt[3]{0.027}$=$sqrt[3]{27×0.001}$=$sqrt[3]{27}$×$sqrt[3]{0.001}$=$sqrt[3]{3^3}$×$sqrt[3]{0.1^3}$=3×0.1=0.3

例題5

$sqrt[5]{0.00032}$=

解答を表示

$sqrt[5]{0.00032}$=$sqrt[5]{32×0.00001}$=$sqrt[5]{32}$×$sqrt[5]{0.00001}$=$sqrt[5]{2^5}$×$sqrt[5]{0.1^5}$=2×0.1=0.2

 

割り算

$frac{sqrt[n]{a}}{sqrt[n]{b}}$=$sqrt[n]{frac{a}{b}}$

例題1

$sqrt[3]{frac{1}{8}}$=

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$sqrt[3]{frac{1}{8}}$=$frac{sqrt[3]{1}}{sqrt[3]{8}}$=$frac{sqrt[3]{1^3}}{sqrt[3]{2^3}}$=$frac{1}{2}$

例題2

$frac{sqrt[3]{243}}{sqrt[3]{9}}$=

解答を表示

$frac{sqrt[3]{243}}{sqrt[3]{9}}$=$sqrt[3]{frac{243}{9}}$=$sqrt[3]{27}$=$sqrt[3]{3^3}$=3

 

累乗

$(sqrt[n]{a})^m$=$(sqrt[n]{a^m})$

例題1

$(sqrt[4]{16})^2$=

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$(sqrt[4]{16})^2$=$(sqrt[4]{2^4})^2$=$sqrt[4]{(2^4)^2}$=$sqrt[4]{2^8}$==$sqrt[4]{(2^2)^4}$=$2^2$=4

例題2

$(sqrt[3]{10})^2$=

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$(sqrt[3]{10})^2$=$sqrt[3]{(10)^2}$=$sqrt[3]{100}$

ルートの中が3乗に出来ないので、ルートは外せない

二重累乗根

$sqrt[m]{sqrt[n]{a}}$=$sqrt[mn]{a}$

例題1

$sqrt[2]{sqrt[3]{64}}$=

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$sqrt[2]{sqrt[3]{64}}$=$sqrt[2]{sqrt[3]{2^6}}$=$sqrt[2×3]{2^6}$=$sqrt[6]{2^6}$=2

例題2

$sqrt[6]{27}$=

解答を表示

27を素因数分解してもN乗(6乗)が作れないので、ルートの方を変える、と考える

$sqrt[6]{27}$=$sqrt[6]{3^3}$=$sqrt[2×3]{3^3}$=$sqrt[2]{sqrt[3]{3^3}}$=$sqrt[2]{3}$=$sqrt{3}$

 

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