➀弧度法

「弧度…って何?」「今までの度と何が違うの?」という高校生へ。東大卒講師歴20年の管理人が整理して図解します。記事を読み終われば頭がスッキリまとまっているでしょう。

弧度法(ラジアン)

今までの角度(0°,180°,360°等)=度数法
(「°」が付いている)

新しい角度の表し方(0,1$\pi$,2$\pi$)=弧度法
(「°」が付いていない)

マジ大切!

◆弧度法の定義
$\frac{l}{r}$
=$\theta$(ラジアン)

 

度数法と弧度法の変換

絶対暗記!

◆度数法と弧度法の対応
180°=1$\pi$

これを頭に叩き込んで、あとは感覚で何となく解けるのがベスト!

度数法を弧度法に直す

❶度数法を180で割って
❷「°」を取り$\pi$」をつける。

もう少し感覚的に言うと、
「半円の何分のいくつか」をイメージして、
それに「$\pi$」をつける感じです。

例題を解く前に…

公式をもう一回確認します。

言えるようにしてから例題に進んで下さい。

公式チェック
度数法を弧度法に直すには?

❶度数法を180で割って
❷「°」を取り$\pi$」をつける。

言えなかった人はもう一度閉じて、言ってみて下さい。
覚えたと思ったら、例題に進みましょう。

例題1

30°をラジアンに直せ

解答を表示

30°→30÷180=$\frac{30}{180}$$\frac{1}{6}$$\frac{1}{6}$$\pi$

例題2

45°をラジアンに直せ

解答を表示

45°→45÷180=$\frac{45}{180}$$\frac{1}{4}$$\frac{1}{4}$$\pi$

例題3

60°をラジアンに直せ

解答を表示

60°→60÷180=$\frac{60}{180}$$\frac{1}{3}$$\frac{1}{3}$$\pi$

例題4

90°をラジアンに直せ

解答を表示

90°→90÷180=$\frac{90}{180}$$\frac{1}{2}$$\frac{1}{2}$$\pi$

例題5

120°をラジアンに直せ

解答を表示

120°→120÷180=$\frac{120}{180}$$\frac{2}{3}$$\frac{2}{3}$$\pi$

 

弧度法を度数法に直す

❶弧度法から「$\pi$」をとって
180をかけて「°」をつける

 

これも、
言えるか確認してみましょう。

 

公式チェック
弧度法を度数法に直すには?

❶弧度法から「$\pi$」をとって
180をかけて「°」をつける

言えなかった人はもう一度閉じて、言ってみて下さい。
覚えたと思ったら、例題に進みましょう。

 

例題1

$\frac{1}{6}$$\pi$ を度数法で表わせ

解答を表示

$\frac{1}{6}$$\pi$$\frac{1}{6}$$\frac{1}{6}$×180=30°

例題2

$\frac{1}{4}$$\pi$ を度数法で表わせ

解答を表示

$\frac{1}{4}$$\pi$$\frac{1}{4}$$\frac{1}{4}$×180=45°

例題3

$\frac{1}{3}$$\pi$ を度数法で表わせ

解答を表示

$\frac{1}{3}$$\pi$$\frac{1}{3}$$\frac{1}{3}$×180=60°

例題4

$\frac{1}{2}$$\pi$ を度数法で表わせ

解答を表示

$\frac{1}{2}$$\pi$$\frac{1}{2}$$\frac{1}{2}$×180=90°

 

おうぎ形の計量

扇形の弧の長さ($l$)

一番最初の弧度法の定義

$\frac{l}{r}$=$\theta$(ラジアン)

こいつを変形して、$l$を出す。

$\frac{l}{r}$=$\theta$
↓(両辺に「r」をかける)
$l$=$\theta$r

 

これも、
言えるか確認してみましょう。

 

公式チェック
扇形の弧の長さは?

$l$=$\theta$r

言えなかった人はもう一度閉じて、言ってみて下さい。
覚えたと思ったら、例題に進みましょう。

例題1

半径3、中心角$\frac{1}{4}$$\pi$ の扇形の弧の長さを求めよ

解答を表示

$l$=$\theta$r$\theta$=$\frac{1}{4}$$\pi$、r=3 を代入して、$l$=$\frac{1}{4}$$\pi$×3=$\frac{3}{4}$$\pi$

例題2

半径8、中心角$\frac{7}{12}$$\pi$ の扇形の弧の長さを求めよ

解答を表示

$l$=$\theta$r$\theta$=$\frac{7}{12}$$\pi$、r=8 を代入して、$l$=$\frac{7}{12}$$\pi$×8=$\frac{14}{3}$$\pi$

例題3

半径6、中心角120° の扇形の弧の長さを求めよ

解答を表示

まず120°をラジアンに直すと、
120°→120÷180=$\frac{2}{3}$$\frac{2}{3}$$\pi$

次に、$l$=$\theta$r$\theta$=$\frac{2}{3}$$\pi$、r=6 を代入して、$l$=$\frac{2}{3}$$\pi$×6=$4\pi$

 

おうぎ形の面積(S)

扇形を三角形だと思って出す。
弧の長さ(l)が底辺で、半径(r)が高さ。

S=$l$×r×$\frac{l}{2}$$\frac{1}{2}lr$

この式の$l$$\theta$rを代入して

S=$\frac{1}{2}×l×r$$\frac{1}{2}×\theta r×r$$\frac{1}{2}\theta r^2$

定義と公式の全体像

この図がかけるようにすると良い。

絶~対暗記!

◆弧の長さ $l$=$\theta$r

◆面積 S=$\frac{1}{2}\theta r^2$

 

これも、
言えるか確認してみましょう。

 

公式チェック
扇形の面積S(弧度を使って)は?

S=$\frac{1}{2}\theta r^2$

言えなかった人はもう一度閉じて、言ってみて下さい。
覚えたと思ったら、例題に進みましょう。

 

例題1

半径3、中心角$\frac{1}{4}$$\pi$ の扇形の面積を求めよ

解答を表示

S=$\frac{1}{2}\theta r^2$$\theta$=$\frac{1}{4}$$\pi$、r=3 を代入して、S=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}\pi$×$3^2$=$\frac{9}{8}$$\pi$

例題2

半径8、中心角$\frac{7}{12}$$\pi$ の扇形の面積を求めよ

解答を表示

S=$\frac{1}{2}\theta r^2$$\theta$=$\frac{7}{12}$$\pi$、r=8 を代入して、S=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{12}\pi$×$8^2$=$\frac{56}{3}$$\pi$

例題3

半径6、中心角120° の扇形の面積を求めよ

解答を表示

まず120°をラジアンに直すと、
120°→120÷180=$\frac{2}{3}$$\frac{2}{3}$$\pi$

次に、S=$\frac{1}{2}\theta r^2$$\theta$=$\frac{2}{3}$$\pi$、r=6 を代入して、S=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}\pi$×$6^2$=12$\pi$

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